| Sıra | DOSYA ADI | Format | Bağlantı |
|---|---|---|---|
| 01. | Doğrusal Denklem Si̇stemleri̇ni̇n Sayisal Çözümleri̇ | ppt | Sunumu İndir |
Transkript
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200715) DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ a11 x1 =b1 x1 f(x1)= a11 x1 -b1=0a11 x1+a12 x2+……….a1n xn=b1 . . . . . . an1 x1+ an2 x2+……….ann xn=bn x1, x2,….xn
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,20072•Hareket Denklemleri, kimyasal denklemler, ısı yasaları, akım-gerilim yasaları, birbirine bağlı olarak değişen değişkenlerle ve bunların oluşturduğu denklemlerle ifade edilirler. Karşılaştığımız pek çok sistem; I3 4 25 1000V + I4 10 20 I1 10 A I2 25 8 5 I1-25I4=-200-37I3-4I4= -250-25I1-4I3+29I4=100Doğrudan ve iteratif çözüm yöntemleri
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200735.1. DOĞRUDAN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ• 5.1.1. Ters Matris Yöntemia11 x1+a12 x2+a13 x3=b1a21 x1+a22 x2+ a23 x3=b2a31 x1+a32 x2+ a33 x3=b311 12 13 1 121 22 23 2 23 331 32 33a a a x ba a a x bx ba a a [A] [X]=[B] [A]-1 [A] [X]= [A]-1 [B] [I] [X]= [A]-1 [B] (Hatırlatma: Matrisin tersi A-1= idi.) Adj AA
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,20074Örnek: Aşağıda verilen denklemlerde bilinmeyen olarak tanımlanan x1, x2 ve x3 değerlerini ters matris yöntemini kullanarak bulunuz.• 2 x1-3x2+2 x3=-11• x1+ x2+ -2 x3=8• 3 x1-2x2- x3=-1Çözüm 1232 3 2 111 1 2 83 2 1 1xxx A = +a11 22 2332 33a aa a-a1221 2331 33a aa a+ a1321 2231 32a aa aA = a11(a22 a33-a23 a32)-a12(a21 a33-a31 a23)+a13(a21 a32-a31 a22)A = 2[1 (-1)-(-2) (-2)]-(-3)[1(-1)-3(-2)]+2[1(-2)-3(1)] =2(-1-4)+3(-1+6)+2(-2-3) = 2(-5)+3(5)+2(-5)A =-5
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,20075C(aij) =(-1)i+j MijC(a11) =(-1)1+1 M11=(-1)2 1 22 1 = (+1) ((1*-1)-(-2*-2))=-5C(a12) =(-1)1+2 M12=(-1)3 1 23 1=(-1) ((1*-1)-(3*-2))=-5 C(a13) =(-1)1+3 M13=(-1)4 1 13 2=(+1) ((1*-2)-(3*1))=-5 C(a21) =(-1)2+1 M21=(-1)3 3 22 1 =(-1) ((-3*-1)-(-2*2))=-7 C(a22) =(-1)2+2 M22=(-1)4 2 23 1=(+1) ((2*-1)-(3*2))=-8 C(a23) =(-1)2+3 M23=(-1)5 2 33 2=(-1) ((2*-2)-(3*-3))=-5 C(a31) =(-1)3+1 M31=(-1)4 3 21 2=(+1) ((-3*-2)-(1*2))=4 C(a32) =(-1)3+2 M32=(-1)5 2 21 2=(-1) ((2*-2)-(1*2))= 6 C(a33) =(-1)3+3 M33=(-1)6 2 31 1=(+1) ((2*1)-(1*-3))=5 C(aij) =(-1)i+j Mij
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,20076C[A]=5 5 57 8 54 6 5 Ek Matris (yani Adjoint[A])=(C[A])TAdjoint[A])= 5 7 45 8 65 5 5
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,20077[A]-1=1 1.4 0.8[ ]1 1.6 1.21 1 1Adj AA 1231 1.4 0.8 111 1.6 1.2 81 1 1 1xxx 18112.18.12118.02.1111=x1=1, x2=3 ve x3=-2 a11 x1+a12 x2+……….a1n xn=b1 . . . . . . an1 x1+ an2 x2+……….ann xn=bn x1, x2,….xn
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200785.1.2. Cramer Yöntemi:xk=detdetkAA [Ak]= 11 1 1321 2 23..11............ ........ ........ ....n n nnka b aa b aa b a
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,20079Örnek: Aşağıda verilen denklem takımını Cramer kuralıyla çözün.3 x1 + 4 x2-5 x3 = -47-2 x1-5 x2+ 7 x3= 56-7 x1+2x2- 3 x3= 15• Çözüm: 1233 4 5 472 5 7 567 2 3 15xxx A =3(15-14)-4(6+49)-5(-4-35)=3-220+195=-22
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200710 x1=47 4 51 156 5 722 2215 2 3 [-47(15-14)-4(-168-105)-5(112+75)] =122 (110) =-5 Benzer biçimde x2 ve x3 elemanları da bulunur. x2=3 47 51 12 56 722 227 15 3 [3(-168-105)+47(6+49)-5(-30+392)] =122 (-44) =2 x3=3 4 471 12 5 5622 227 2 15 [3(-75-112)-4(-30+392)-47(-4-35)] =122 (-176) =8 bulunur. x1=-5, x2=2 ve x3=8 E= 155647
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200711Problemin Matlab’ta çözümü: Bu kısımda, A matrisinin k. sütunu E vektörü ile değiştirilir i > matrisin satırsayısı? bilinmeyen hesaplanırxk=det(Ak)/det(A); E Kaçıncı bilinmeyenbulunacaksa girilir. k=? Katsayı matrisi ve eşitlikvektörü girilir i=1Matrisin k. sütununun i.satırı, eşitlik vektörününi. satırı ile değiştirilir. H i=i+1
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200712
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007135.1.3. Gauss-Yoketme Yöntemi3x + 4y + 2z= 71 x + 2y + 6z= 734x + 12y + 5z=1803x + 4y + 2z= 71 x + 2y + 6z= 73-3 + 3x + 4y + 2z= 71 -3x -12y - 18z=-219-8y+16z=-148y=(148-16z)/8uygun katsayılarla çarpma,bölmetaraf tarafa toplama, çıkarmaDenklemde yerine koyma11 12 13 1 122 23 2 23 33300 0a a a x ba a x bx ba Adım adıma33 x3=b3 x3= b3/a33 x3,, x2, x1
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200714•Genişletilmiş matris: 11 12 13 121 22 23 2331 32 33|a a a bA b a a a bba a a W=[A|b] Bu durumda333231232221131211333231232221131211wwwwwwwwwaaaaaaaaa342414321wwwbbb343332312423222114131211wwwwwwwwwwwwW• Gauss yoketme işlemi için;
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200715MN3M2M1MN3333231N2232221N1131211w......wwww.........wwww.........wwww.........wwwWwij wij-ikkjkkwww k=1,2,…M-1 j=1,2,…N i=k+1,k+2,….,M N=M+1
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200716k=1, wkk=w11MN3M2M1MN3333231N2232221N1131211w......wwww.........wwww.........wwww.........wwwW....0i=2j=122322 .........j=2 j=3wij wij-ikkjkkwwwj=N
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200717k=1, wkk=w11MN3M2M1MN33332N22322N1131211w......wwww.........ww....0w.........ww....0w.........wwwWi=3wij wij-ikkjkkwww
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200718k=1, wkk=w11MN3M2MN33332N22322N1131211w......ww....0w.........ww....0w.........ww....0w.........wwwWi=Mwij wij-ikkjkkwww
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200719k=2, wkk=w22MN3M2MN333N22322N1131211w......ww....0w.........w..0......0w.........ww....0w.........wwwWi=3wij wij-ikkjkkwww
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200720k=2, wkk=w22MN3MN333N22322N1131211w......w..0.....0w.........w..0......0w.........ww....0w.........wwwWi=Mwij wij-ikkjkkwww
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200721k=3, wkk=w33MNN333N22322N1131211w...........0.....0.....0w.........w..0......0w.........ww....0w.........wwwWi=Mwij wij-ikkjkkwww
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200722• Geriye doğru bilinmeyenleri bulmak ve yerine koymak için MNMMN333N22322N1131211w...w.....0.....0.....0w...........w..0......0w..........ww....0w..........wwwW11 12 13 1 122 23 2 23 33300 0a a a x ba a x bx ba Adım adıma33 x3=b3 x3= b3/a33 x3,, x2, x1 idiwMM xM=wMN xM= MMMNww (i=M-1, M-2, …..,1) w(M-1)(M-1) xM-1+w(M-1)MxM=w(M-1)N M1)M-(MN1M1M1Mxwww1xM-1=xk= M1kjjkjkNkkxwww1 (k=M-1, M-2, …..,1)
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200723Örnek: Yanda verilen 4 bilinmeyenli denklem takımını Gauss-Yoketme yöntemiyle çözünüz.12341 3 4 5 112 4 6 8 424 3 2 1 115 3 1 3 38xxxx ÇözümBu denklem takımını sağa genişlemiş matris olarak yazalım ve köşegenin altını sıfırlamak üzere önce birinci satırı esas alarak a21, a31 ve a41 elemanlarını adım adım sıfırlayalım. Kutuların sol tarafındaki sayılar, sıfırların çarpıldığı sayılardır.
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007242/1k=1.i=2.satırlar1 -3 4 -5 -11 18/10k=2.i=4.satırlar1 -3 4 -5 -112 4 6 8 42 0 10 -2 18 644 3 2 1 -11 0 0 -11 -6 -635 3 1 -3 -38 0 18 -19 22 174/1k=1.i=3.satırlar1 -3 4 -5 -11 77/55k=3.i=4.satırlar1 -3 4 -5 -110 10 -2 18 64 0 10 -2 18 -644 3 2 1 -11 0 0 -11 -6 -635 3 1 -3 -38 0 0 -77/5 -52/5 -491/55/1k=1.i=4.satırlar1 -3 4 -5 -11 1 -3 4 -5 -110 10 2 -18 -64 0 10 -2 18 640 -15 14 -21 -33 0 0 -11 -6 -635 3 1 -3 -38 0 0 0 -2 -1015/10k=2.i=3.satırlar1 -3 4 -5 -110 10 -2 18 640 15 -14 21 330 18 -19 22 17-x4=1052 x3=63 6*5311 x2= 64 2*3 18*5210 x1= 11 3 * 2 4*3 5 *541
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200725Pivot (referans eksen) Seçimi3x + 4y + 2z= 71 x + 2y + 6z= 734x + 12y + 5z=1803x + 4y + 2z= 714x + 12y + 5z=180 x + 2y + 6z= 73020001020500005510001110000010100000010...0000101102000102050000010...001110000010100000551000001011
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200726Gauss-Yoketme Yönteminin Matlab’ta Çözümü k W= 11 121 22 2..1........................... ........................... .........NNM n kk MNa aa a aa b a a j i xM=1MNMMww xk= M1kjjkjkNkkxwww1 (k=M-1, M-2, …..,1) idi
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200727a) Algoritmayı daha önce çözdüğümüz örneğe uygulayacak olursak, birinci yordam aşağıdaki denklem takımına karşılık gelen matrisi bulacaktır. w11 x1+w12 x2+w13 x3+w14 x4=b1(=w15) 0 * x1+w22 x2+w23 x3+w24 x4=b2(=w25) 0* x1+0* x2+w33 x3+w34 x4=b3(=w35) 0* x1+0* x2+0* x3+w44 x4=b4(=w45) b) İkinci yordam bu denklemlerden bilinmeyenleri çeker. Sonuncu bilinmeyenden başlayarak bulduğu bilinmeyeni bir önceki denklemde yerine koyarak tüm bilinmeyenleri bulur. x4=w45/w44 3 35 34 4331x w w xw 2 25 23 3 24 4221x w w x w xw 1 15 12 2 13 3 14 4111x w w x w x w xw
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200728Program Algoritması Sabitler ve ilk değerler girilir: Matris, Matrisin boyutları k=1 i=k+1 katsayi=w(i,k)/w(k,k) j=1 Yoketme İşlemi Sonrasında Elde Edilen Matrisi göster i > M? H E E k > M-1? H E H k=k+1 i=i+1 j=j+1 w(i,j)=w(i,j)-katsayi*w(k,j); j > N? 1 (Yok etme yordamı)
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200729Bilinmeyenlerin geriye doğru çözümü Son bilinmeyen: x(M)=w(M,N)/w(M,M); k=M-1 Toplam=0 j=k+1 x(k)=1/w(k,k)*(w(k,N)-Toplam) k < 1? H E E H k=k-1 j=j+1 Toplam=Toplam+w(k,j)*x(j) j> M? 1 Bilinmeyenleri göster (x1,x2…..)
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200730
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200731Çıkışlar: Yok etme islemi sonrasinda matris: w = 1.0000 -3.0000 4.0000 -5.0000 -11.0000 0 10.0000 -2.0000 18.0000 64.0000 0 0 -11.0000 -6.0000 -63.0000 0 0 0.0000 -2.0000 -10.0000 Bilinmeyenler x1,x2......xM sırasıyla; x = -4.0000 -2.0000 3.0000 5.0000
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200732b) Problemi çözen programı yazın. Program, ilgili pivot sıfır olduğu sürece (birden fazla sefer de sıfır olabilir) pivotun bulunduğu satırı, bir alt satırla yer değiştirsin. c) Programı anlaşılır şekilde tarif eden bir akış şeması oluşturun. Örnek:Şekildeki devrede bilinmeyen i12,i52, i32, i65, i54 ve i43 akımlarını Gauss Yoketme yöntemi ile bulun İpucu: ilk 4 denklemi Kirchoff’un akım yasasından, kalan 2 denklemi de her iki kapalı çevrime gerilim yasasını uygulayarak elde edebilirsiniz.( wij (yeni)= wij(eski)-katsayi*wkj , xM=1MNMMww, xk= M1kjjkjkNkkxwww1 (k=M-1, M-2, …..,1) )
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200733Genel olarak devre çözümü yapacak bir programda farklı devrelere karşı esnek olabilmek için her bir direnç arası düğüm olarak tanımlanır. Bu nedenle her düğümü hesaba katmak gerektiği unutulmamalıdır. En genel haliyle çözüm aşağıdaki gibidir. a) Kirscoff’un akım yasası işaretleri göz önüne alındığında 3 noktasındaki akımlar : i43 + (-i32)=0; 4 noktasındaki akımlar: i54 + (-i43)=0; 2. düğüme gelen akımlar: i32 + i52+i12=0; 5. düğüme gelen akımlar: i65 + (-i54)+(-i52)=0; b) Kirscoff’un gerilim yasasını 1. ve 2. çevreye uygularsak (akım yönlerini saat yönünde seçelim) 1. çevre denklemi: 5 i43+ 10 i32+ 5 (-i52)=02. çevre denklemi: 20 i65+ 5 i52+ 5 (-i12)=-200
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007346 bilinmeyenimiz ve 6 denklemimiz var bu denklemleri yeniden düzenleyip matrisel forma getirirsek (karıştırmamak için sıralamayı küçükten büyüğe olacak şekilde yapabiliriz)1 i12 + 1 i32 + 0 i43 + 1 i52 + 0 i54 + 0 i65 =0 (2. düğüm) 0 i12 - 1 i32 + 1 i43 + 0 i52 + 0 i54 + 0 i65 =0 (3. düğüm) 0 i12 +0 i32 - 1 i43 + 0 i52 + 1 i54 + 0 i65 =0 (4. düğüm) 0 i12 +0 i32 + 0 i43 – 1 i52 - 1 i54 + 1 i65 =0 (5. düğüm) 0 i12 +10i32 + 5 i43 – 5 i52 + 0 i54 + 0 i65 =0 (1. çevre) -5 i12 +0 i32 + 0 i43 +5 i52 + 0 i54 + 20 i65 =-200 (2. çevre) W=2002005005000551000111000001010000001100001011
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200735W= 2002005005000551000111000001010000001100001011)1/5(=02020010050000551000111000001010000001100001011 W= 2002001005000055100011100000101000000110)1/10(0001011=20020010050000515000111000001010000001100001011
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007366. satır için W= 2002001005000051500011100000101000000110)1/5(0001011=20020010500000515000111000001010000001100001011 Adım3: 3. sütunda pivot w33=-1’in altında sıfırlanabilecek yine sadece 5. ve 6. satırlar görünüyor. 5. satır için W= 200200105000005150001110000010100)1/15(00001100001011=20020010500001550000111000001010000001100001011 6. satır için W= 200200105000015500001110000010100)1/5(00001100001011=20020510000001550000111000001010000001100001011
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200737W= 20020510000001550000111000)1/5(001010000001100001011=20020510000052000000111000001010000001100001011 6. satır için W= 20020510000052000000111000)1/10(001010000001100001011=2003050000052000000111000001010000001100001011
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200738Adım5: 5. sütunda pivot w55=20’nin altında sıfırlanabilecek bir tek 6. satır kalmıştır. 6. satır için W= 200305000005200000)4/1(0111000001010000001100001011 = 20075.2800000052000000111000001010000001100001011 d) Bilinmeyenlerin bulunması 28.75* i65= -200 i65= -6.9565 A 20*i54-5*i65=0 i54= 20 6.9565-*5=-1.7391 A -1*i52-1*i54+1*i65=0 i52= -1*(-1.7391)+1*(-6.9565)=- 5.2174 A -1*i43+1*i54=0 i43= -1.7391 A -1*i32 + i43=0 i32= -1.7391A 1*i12+1*i32+1*i52=0 i12= -1*(-1.7391A) -1*(- 5.2174) = 6.9565
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200739 Sabitler ve ilk değerler girilir: Matris, Matrisin boyutları k=1 i=k+1 katsayi=w(i,k)/w(k,k) j=1 Yoketme İşlemi Sonrasında Elde Edilen Matrisi göster i > M? H E E k > M-1? H E H k=k+1 i=i+1 j=j+1 j > N? 1 w(i,j)=w(i,j)-katsayi*w(k,j); w(k,k)=0? E H pivot=k uygun pivot seçip satır değişikliği yap w(pivot,k)=0? E pivot=pivot+1 H w(k,j) w(pivot,j)uygun pivot için satırların değişimi Gauss-Yoketme Yönteminin Algoritması (Yok etme yordamı)
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200740 Son bilinmeyen: x(M)=w(M,N)/w(M,M); k=M-1 Toplam=0 j=k+1 x(k)=1/w(k,k)*(w(k,N)-Toplam) k < 1? H E E H k=k-1 j=j+1 Toplam=Toplam+w(k,j)*x(j) j> M? 1 Bilinmeyenleri göster (x1,x2…..) Gauss-Yoketme Yönt. Algoritması (Bilinmeyenlerin geriye doğru çözümü)
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200741
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007425.2. YİNELEMELİ YÖNTEMLER• İteratif ve yaklaşık çözümler daha önce anlatılan yerine koyma yöntemlerine bir alternatif oluştururlar.
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007435.2.1. Gauss-Siedel Yöntemi• 3’e 3’lük bir denklem sistemini örnek olarak alalım. 1 12 2 13 3111b a x a xxa 2 21 1 23 3222b a x a xxa 3 31 1 32 2333b a x a xxa n değişken için Gauss-Siedel formülü;kjnij iiijkjij iiijiiiki xaaxaaabx 11111Yakınsama koşulu nijjijii aa1000Başlangıç koşulları: x1=0; x2=0; x3=0a11 x1+a12 x2+a13 x3=b1a21 x1+a22 x2+ a23 x3=b2a31 x1+a32 x2+ a33 x3=b3
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200744Örnek: Gauss-Siedel yöntemini kullanarak aşağıdaki sistemin çözümünü bulun. • 3 x1-0.1 x2-0.2 x3 =7.85• 0.1 x1+7 x2- 0.3 x3=-19.3• 0.3 x1+0.2x2+10 x3=71.4Çözüm: Önce bilinmeyenleri diğerleri cinsinden bulalım. 2 317.85 0.1 0.23x xx 1 3219.3 0.1 0.37x xx 1 2371.4 0.3 0.210x xx Burada x2 ve x3’ü sıfır varsayarsak17.85 0 02.6166673x 219.3 0.1(2.616667) 02.7945247x 371.4 0.3 2.616667 0.2 2.7945247.00561010x
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200745İkinci iterasyonda aynı süreç tekrarlanarak aşağıdaki değerler hesaplanır: 17.85 0.1 2.794524 0.2 7.0056102.9905573x Burada 219.3 0.1 2.990557 0.3 7.0056102.4996257x 371.4 0.3 2.990557 0.2 2.4996257.00029110x
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200746Hatayı tahmin etmek için bilinmeyenlerin bağıl yaklaşım yüzde hatalarına bakılır. Örneğin x1 için: ,12.990557 2.616667%100 %12.52.990557a ’tir. x2 ve x3 için hata tahminleri ,22.499625 2.794524%100 %11.82.499625a ,37.000291 7.005610%100 %0.0767.000291a Bu şekilde tüm hatalar belirlenen bir tolerans sınırı altına düşene kadar iterasyona devam edilir.
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007475.2.2. Jacobi Yöntemi Birinci iterasyon x1=(b1-a12 x2-a13 x3)/a11 x1=(b1-a12 x2-a13 x3)/a11 x2=(b2-a21 x1-a23 x3)/a22 x2=(b2-a21 x1-a23 x3)/a22 x3=(b3-a31 x1-a32 x2)/a33 x3=(b3-a31 x1-a32 x2)/a33 İkinci iterasyon x1=(b1-a12 x2-a13 x3)/a11 x1=(b1-a12 x2-a13 x3)/a11 x2=(b2-a21 x1-a23 x3)/a22 x2=(b2-a21 x1-a23 x3)/a22 x3=(b3-a31 x1-a32 x2)/a33 x3=(b3-a31 x1-a32 x2)/a33 (a) (b) Şekil.5.5. (a) Gauss-Siedel ve (b) Jacobi Yöntemleri
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200748 Gauss-Siedel yönteminde her x değeri bulundukça, bir sonraki x değerini belirleyen denklemde hemen kullanılır (Şekil.5.5.a). Böylece eğer çözüm yakınsıyorsa her zaman en iyi tahminler kullanılmış olur. Jacobi adı verilen alternatif yöntemde yeni x değerleri toplu olarak eski x değerleri gurubunun denklemde yerine konulmasıyla güncellenir (Şekil.5.5.b). Gauss-Siedel Yönteminin algoritması Şekil.5.6’da, programı ise Şekil.5.7’de verilmiştir. Jacobi yönteminde tek fark, toplam terimleri hesaplanırken, x’lerin son değerleri (x(k+1)), döngü boyunca kendisi haricindeki x’lerin son değerlerine değil, bir önceki değerlerine (x(k)) bağlı olmasıdır.
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200749 Sabitler ve ilk değerler girilir: a: katsayı matrisi, b: eşitlik vektörü a(1,2,3), x0(1,2,3), s E H a > s? xönceki xsonraki 1111 kjij iiij xaaToplam kjnij iiij xaaToplam 12 211 ToplamToplamabxiiiki 100%xxxji1jijii,a i=i+1 i >=size(a)? H E Son bulunan x ve a değerlerini göster.
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,200750
Doğrusal Denklem Si̇stemleri̇ni̇n Sayisal Çözümleri̇
Yazar :
Serhat YILMAZ
Yıl : 2007
Anahtar Kelimeler
Daha fazla görüntüle