Sıra | DOSYA ADI | Format | Bağlantı |
---|---|---|---|
01. | İnterpolasyon Ve Eğri Uydurma | ppt | Sunumu İndir |
Transkript
7) İNTERPOLASYONİnterpolasyon, eldeki verilerin dağılımından yararlanarak, elde olmayan bir değerin tahmin edilmesi olarak özetlenebilir. istatistiksel veriler 1945 1950 1955 1960 1965 x ( yıllar) f(x) Nüfus 10 Milyon 8 Milyon 6 Milyon 4 Milyon ? y = 0,1039Ln(x) + 22,0121,92222,122,222,322,422,522,60 10 20 30 40 50 60 70Zaman (dk)Sıcaklık (0C)
Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi, Elektronik ve Haberleşme Bölümü2İnterpolasyon ve eğri uydurma Ra La Yük J=Eylemsizlik b=sürtünme w , ia Armatür Akımı Armatür Va -+Rf Lf if (t) Alan Akımı Vb x y Sistem Giriş Çıkış y=f(x) x y x1x2x3x4x5x6y1y2y3y4y5y6Sistem veya fonksiyonun karakteristiğini betimleyen bir polinom elde ediliry=P(x)=2x3-9x2+x+10
Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi, Elektronik ve Haberleşme Bölümü3İnterpolasyon-eğri uydurma? Ne fark var? ---------Doğrusal İnterpolasyon Eğri Uydurma x f(x) Şekil.7.1. İnterpolasyon ve Eğri Uydurma Grafikleri
Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi, Elektronik ve Haberleşme Bölümü47.1. Doğrusal İnterpolasyon Koordinatları (x1,y1), (x2,y2) olarak verilen iki noktadan bir doğru geçer ve denklemi;121121yyyyxxxx 21211212 yxxxxyxxxxyÖrnek: Verilen noktalardan geçen fonksiyonu bulunuz. x1=0, x2=1, y1=3, y2=5 50103101xxy =2x+3 x f(x)0 31 5
Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi, Elektronik ve Haberleşme Bölümü57.2. Lagrange Polinom İnterpolasyonuŞekil.7.2. N noktadan N-1. dereceden bir polinom geçebilirLagrange interpolasyon formülü, N noktadan geçen N-1 dereceli polinomu tanımlayan bir teoremle verilir.
Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi, Elektronik ve Haberleşme Bölümü6Teorem: Lagrange İnterpolasyon Polinomu Koordinatları (x1,y1),(x2,y2),.......(xN , yN) olan noktalar, derecesi en fazla N-1 olan,P(x)=L1(x) y1+ L2(x) y2+...................... LN(x) yN = kNkk yxL )(1 tanımlarLk(x)= NkkkkNxxxxxxxxxxxxxxxx..........................321321 = Nkii ikixxxx1
Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi, Elektronik ve Haberleşme Bölümü7Örnek: Üçüncü dereceden bir polinomu ele alalım. Polinomun belirli noktalarda aldığı değerler aşağıdaki gibi olsun. Bu polinomu bulalım. x= 0 1 2 3 4 P(x)= 10 4 -8 -14 -2 L1(x)= 403020104321 xxxx=2424503510 234 xxxx L2(x)= 413121014320 xxxx= -624269 234 xxxx L3(x)= 423212024310 xxxx= 412198 234 xxxx L4(x)= 432313034210 xxxx= -68147 234 xxxx L5(x)= 342414043210 xxxx = 246116 234 xxxx P(x)=10L1(x)+4 L2(x)-8 L3(x)-14 L4(x)-2 L5(x) Çözüm: P(x)=2x3-9x2+x+10
Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi, Elektronik ve Haberleşme Bölümü8Ödev: x,y=[(0,-5), (1,-1), (2,67), (3,379), (4,1235)]a) Noktalarından geçen polinomu Lagrange interpolasyon yöntemiyle bulun. (P(x)=a xn+ b xn-1+….c) gibi tek polinom olacak şekilde sadeleştirin. b) x=5 için polinomun değerini bulun. Lagrange interpolasyon yöntemiyle yukarıda verilen noktalara ait polinomun x=5’teki değerini hesaplayan algoritmayı oluşturun ve programını yazın.
Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi, Elektronik ve Haberleşme Bölümü9Örnek: Bir trigonometrik işlevi ele alalım. sin30o=0.5, sin450=0.7071, sin600=0.8660 olduğu bilinmektedir. Bu durumda sin370 ve sin400 değerlerini Lagrange interpolasyon yöntemiyle bulun. Çözüm: y1=0.5, y2=0.7071, y3=0.8660 ve x1=30, x2=45, x3=60 olduğuna göre x=37 için Lk polinomlarını bulalım. L1= 311 1ii iixxxx= 6030453060374537312132xxxxxxxx=0.4088 L2= 321 2ii iixxxx= 6045304560373037321231xxxxxxxx=0.7155 L3= 331 3ii iixxxx= 4560306045373037231321xxxxxxxx= -0.1244 Buradan interpolasyon polinomu; P(37)=L1 y1+L2 y2+L3 y3=0.4088*0.5+0.7155*0.7071-0.1244*0.8660=0.6026 Sin37’nin gerçek değeri, 0.6016’dır. Bulunan sonuç, sadece 3 noktadan alınan örnek için iyi bir yaklaştırmadır. P(x)=x3+……
Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi, Elektronik ve Haberleşme Bölümü10Şimdi aynı 3 değerden sin400’nin değerini 6 basamak duyarlılıkla bulalım. L1= 6030453060404540=0.222222 L2= 6045304560403040=0.888888 L3= 4560306045403040=-0.111111 ve istenen değer, P(40)=0.222222*0.5+0.888888*0.707107-0.111111*0.866025 =0.643224 olacaktır. Bulunan sonuç, Sin400= 0.642787 değerine oldukça yakındır.
Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi, Elektronik ve Haberleşme Bölümü11P(x)=Toplam, ( kNkk yxL )(1) H k?i İlk Değerleri Ata Elimizdeki x noktaları ve bunlara karşılık gelen y değerleri, polinomun aldığı değeri bulacağımız x noktası, Toplam=0 Lk(x)=Çarpım, ( Nkii ikixxxx1) Çarpım= Çarpım*(ikixxxx ) E H H E k=k+1 k=1 ?3k E Çarpım=1 i=i+1 i= 1 ?3i Toplam=Toplam+L(k)*y(k) Bu örneği Matlab ile sayısal olarak çözmek için şu şekilde bir program hazırlanabilir Star Wars, Lucas,G., 2005 k kendisiyle karşılaşırsa
Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi, Elektronik ve Haberleşme Bölümü12Lagrange İnterpolasyon probleminin çözümü için hazırlanan program
Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi, Elektronik ve Haberleşme Bölümü13Kaynaklar Sayısal Çözümleme, TAPRAMAZ,R., Literatür Yayınları Advanced Engineering Mathematics, Kreyszig,E. Nümerik Analiz, UZUN,İ, Beta Yayınları