Sıra | DOSYA ADI | Format | Bağlantı |
---|---|---|---|
01. | Poli̇nomlarin Kökleri̇ni̇ Beli̇rlemeye İli̇şki̇n Yöntemler Ve Bu Yöntemleri̇n Si̇stem Kararliliğiyla Olan İli̇şki̇si̇ | ppt | Sunumu İndir |
Transkript
POLİNOMLARIN KÖKLERİNİ BELİRLEMEYE İLİŞKİN YÖNTEMLER VE BU YÖNTEMLERİN SİSTEM KARARLILIĞIYLA OLAN İLİŞKİSİHazırlayan:Cihan Soylu
• Sistemler• Yöntemler• Ayrık Zamanlı Sistemlerde denge noktaları ve kararlılık• Periyodik Çözümler
SİSTEMLERSürekli zamanlı sistemler Ayrık zamanlı sistemler))(()1( kxfkx ))(()( txftx
Sistemlerin kararlılığı incelenmek istendiği takdirde o sisteme ilişkin karakteristik polinomun köklerinin yerini belirlemek gerekmektedir.Ayrık ve sürekli zamanlı sistemlerde bu işe yarayan yöntemler bulunmaktadır.Sürekli zamanlı Ayrık zamanlı - Routh-Hurwitz kararlılık - Juri kararlılık testikriteri - Nyquist kararlılık kriteri
Peki kararlı bir sistem için kökler nerede olmalıdır? Ayrık zamanlı sistemlerdekarakteristik polinomun kökleri birim çemberin içinde yer almalıdır. Sürekli zamanlı sistemlerde karakteristik polinomun kökleri sol yarı düzlemde ve ya sanal eksen üzerinde katsız ise sistem kararlıdır. xy-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-4-3-2-101234
Routh-Hurwitz Kararlılık Kriteri Routh-Hurwitz kararlılık kriteri sürekli zamanlı sistemler için geçerlidir. Karakteristik polinomun köklerinin sol yarı düzlemde olup olmadiğini söyler.karakteristik polinomuyla verilen bir sistem düşünelim.Polinomun katsayılarıyla şekildeki gibi bir tablo olusturalım. 0111 ...)( asasasaspnnnn ..21nnnsss.111cbaann.2232cbaann 113121 nnnnn aaaaab115142 nnnnn aaaaab
Tablo oluşturulduktan sonra ilk sütundaki elemanlar aynı işarette ise sistem kararlıdır.Yani kökler sol yarı düzlemde.Örnek:)(sp
Juri Kararlılık TestiJuri kararlılık testi ayrık zamanlı sistemler üzerinde uygulanır. Karakteristik polinomu;ile verilen ayrık zamanlı bir sistem düşünelim.Juri tablosunu oluşturmadan önce bakılması gereken iki koşul bulunmaktadır.1. 2. NNNN zbzbzbzbbzB 112210 ...)(0)1( B0)1()1( BN
Önceki yansıda bahsedilen iki koşul sağlanmaz ise Juri tablosunu oluşturmaya gerek kalmaksızın sistem kararsızdır. Eğer koşullar sağlanırsa tablo şu şekilde oluşturulur:Sıra1 234..2N-3 0z 2z1z 1Nz Nz0b 1b 2b 1Nb Nb0b1bNb 1Nb 2Nb0c 1c 2c 1Nc1Nc 0c2Nc 3Nc0r 1r 2rkNkNk bbbbc 0 12,1,0 Nk
Tablo oluşturulduktan sonra aşağıdaki koşullara bakılır;Bu koşulların tamamı sağlanırsa kökler birim çemberin içindedir yani sistem kararlıdır.Nbb 010 Ncc20 rr
Denge noktası (fixed point)))(()1( kxfkx )( xfxyx )1( kx)(kxx)(')1( kxfkxxkzkx )(0''1xkxkfzzfzkararlıfx 1'Ayrık Zamanlı Sistemlerde Denge Noktaları
yx Yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi iki denge noktası bulunmaktadır.Bu denge noktalarından biri kararlı diğeri ise kararsızdır.Kararlı dengenoktasının özelliği başlangıç koşuluna bağlı olmaksızın sistemin o noktaya dönmesidir.
Kararsız denge noktasını kararlı hale getirmek: Sistem K ))(())(()1( kxKfkxfkx)(')(')1( kxKfkxfkx xxkzkx )()('1 kkxk Kzzfz0''1 xxKffzz 1,,2,1 i1izOlacak şekilde seçilen ve değerleriyle geri besleme yapılaraksistem kararlı hale getirilmiş olur. )0(x K
Periyodik noktalar:)()(2112xfxxfxLogistic EquationOlursa kararlı periyodik çözüm)1( xax yx )))((())1(()2( kxffkxfkx kzkx )(kxk zfz 22022 xfz21''2 xxx fff1''21 xx ff
2.3a olursa çevrim 2 (2-cycle) çözümler kararlıxxf )(20))1(1)(1(2 xxaxxxa01)1(22 axaaxa aaaax 2/)1)(3()1(1 aaaax 2/)1)(3()1(2 0 20 40 60 80 100 1200.20.30.40.50.60.70.80.91
4a))()(()1( kKxkxfkx x0''1 xxKffzz için sistem sonsuz periyodik çözüme sahiptir.(Kaotik)Bu durumda sistemi bir periyotlu çözüm için kararlı hale getirelim.2'1xfElde edilen polinoma Juri kararlılık kriteri uygulanarak kökler birim çember içinde kalacak şekilde K ve değerleri bulunur. K=1/3 ve = 2 için çözüm kararlı hale gelir.aaxxaxxaxxax/)1(00)1()1(212
0 50 100 150 200 25000.10.20.30.40.50.60.70.80.91
Kaynaklar• Modern control engineering / Katsuhiko Ogata • An introduction to difference equations / Saber Elaydi • Chaos and fractals : new frontiers of science / Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe