Sıra | DOSYA ADI | Format | Bağlantı |
---|---|---|---|
01. | Doğrusallik Ve Doğrusal Olmama Durumu | ppt | Sunumu İndir |
Transkript
Doğrusal ModelDOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU*uXXXY 4433221 1Doğrusal olmama durumunu anlatmadan önce doğrusallıktan bahsetmek gerekmektedir. *Bu konu Christopher Dougherty’, Inroduction to Econometrics kitabının slaytlarından çevrilerek hazırlanmıştır.
DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMUuXXXY 4433221 2Yukarıda verilen model iki durum bakımından dorusaldır. Model değişkenler bakımından doğrusaldır. Ayrıca parametreler bakımından da doğrusaldır.
Değişkenlerde ve parametrelerde doğrusallık durumu:DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMUuXXXY 4433221 3Parametreler her bir terimde çarpımsal olarak yer almaktadır.
Değişken ve parametre bakımından doğrusallık:Parametre bakımından doğrusal, değişken bakımından doğrusal olmama:DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMUuXXXY 4433221 uXXXY 44332221 log4İkinci model parametre bakımından doğrusalken, değişken bakımından doğrusal değildir.
DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMUuXXXY 4433221 uXXXY 44332221 log4433222 log,, XZXZXZ 5Bu modellerde bir sorun yoktur. Yeni değişkenler yukarıdaki gibi tanımlanabilir.
Değişkenlerde ve parametrelerde doğrusallık durumu:Parametrelerde doğrusal değişkenlerde doğrusal olmama durumu:DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMUuXXXY 4433221 uXXXY 44332221 log4433222 log,, XZXZXZ uZZZY 4433221 6Yapılan yüzeysel dönüşümler ile hem parametre hem de değişkenler doğrusal duruma getirilir.
Değişkenlerde ve parametrelerde doğrusallık durumu:Parametrelerde doğrusal değişkenlerde doğrusal olmama durumu:Parametre bakımından doğrusal olmama durumu:DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU7uXXXY 4433221 uXXXY 44332221 log4433222 log,, XZXZXZ uZZZY 4433221 uXXXY 43233221 Üçüncü model katsayı bakımından doğrusal değildir. X4 değişkeninin katsayısı, X2 ve X3 değişkenleri katsayılarının çarpımıdır. Parametre bakımından doğrusal olmayan modeller uygun dönüşümler sayesinde doğrusallaştırılabilir.
Muz Gelir (lbs) ($10,000) Hanehalkı Y X 1 1.71 12 6.88 23 8.25 34 9.52 45 9.81 56 11.43 67 11.09 78 10.87 89 12.15 910 10.94 10DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU8Doğrusallaştırma için yukarıdaki örnek ile başlayalım. 10 hanehalkına ait yıllık muz tüketimi ve yıllık gelir bilgileri yukarıdaki gibidir.
DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU9Verilerin dağılımı grafikte verilmiştir.024681012140 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11XY
. reg Y X Source | SS df MS Number of obs = 10---------+------------------------------ F( 1, 8) = 17.44 Model | 58.8774834 1 58.8774834 Prob > F = 0.0031Residual | 27.003764 8 3.3754705 R-squared = 0.6856---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6463 Total | 85.8812475 9 9.54236083 Root MSE = 1.8372------------------------------------------------------------------------------ Y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]---------+-------------------------------------------------------------------- X | .8447878 .2022741 4.176 0.003 .378343 1.311233 _cons | 4.618667 1.255078 3.680 0.006 1.724453 7.512881------------------------------------------------------------------------------DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU10Doğrusal modelin sonuçları çıktı olarak verilmiştir. Dağılma diyagramından görüldüğü gibi X’in katsayısı istatistiksel olarak anlamlıdır. R2 değeri oldukça iyidir.
DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU11 Regresyon doğrusu çizildikten sonra dağılım diyagramı yukarıda yine verilmiştir. 024681012140 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11XY
DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU12Grafiğe tahmin değerleri ve hata terimleri eklenmiştir. Hata terimleri modelin bazı bakımlardan yanlış belirlenmiş olabileceğini göstermektedir.024681012140 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11XY
13Eğer model doğru olarak belirlenmiş olsaydı hata terimleri tesadüfi olarak dağılacaktı. Bu durumda tesadüfi değildir. Negatif hata terimini altı tane pozitif hata terimi ve bunları da üç tane negatif hata terimi takip etmektedir. 024681012140 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11XYDOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU
Yeniden düzenlenmiş model:14Y değişkeninin ilişkisinin 1/X ile daha uygun olabilir. Eğer 2 < 0 ise, Y değişkeni X ile yine artacaktır, fakat artış oranı düşecektir.uXY 21DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU
Gözden geçirilmiş model :15uXY 21Yukarıdaki model doğusal değildir. X değişkeninin tersi olarak bir Z değişkeni tanımlanırsa model doğrusal olabilecektir. XZ1uZY 21 DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU
Muz Gelir (lbs) ($10,000)Hanehalkı Y X Z=1/X1 1.71 1 1.002 6.88 2 0.503 8.25 3 0.334 9.52 4 0.255 9.81 5 0.206 11.43 6 0.177 11.09 7 0.148 10.87 8 0.139 12.15 9 0.1110 10.94 10 0.1016Yeni adım Z değişkenini X değişkeni yardımı ile hesaplamaktır. Böylece eski değişkenlerden yeni değişkenler elde edilebilir. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU
17Bu kez Y ve Z arasındaki dağılma diyagramı yukarıdaki gibidir.024681012140 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2YZDOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU
. g Z=1/X. reg Y Z Source | SS df MS Number of obs = 10---------+------------------------------ F( 1, 8) = 286.10 Model | 83.5451508 1 83.5451508 Prob > F = 0.0000Residual | 2.33609666 8 .292012083 R-squared = 0.9728---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9694 Total | 85.8812475 9 9.54236083 Root MSE = .54038------------------------------------------------------------------------------ Y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]---------+-------------------------------------------------------------------- Z | -10.98865 .6496573 -16.915 0.000 -12.48677 -9.490543 _cons | 12.48354 .2557512 48.811 0.000 11.89378 13.07331------------------------------------------------------------------------------18Yeni Z değişkeni ile elde edilen model çıktısı yukarıdadır.DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU
. g Z=1/X. reg Y Z Source | SS df MS Number of obs = 10---------+------------------------------ F( 1, 8) = 286.10 Model | 83.5451508 1 83.5451508 Prob > F = 0.0000Residual | 2.33609666 8 .292012083 R-squared = 0.9728---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9694 Total | 85.8812475 9 9.54236083 Root MSE = .54038------------------------------------------------------------------------------ Y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]---------+-------------------------------------------------------------------- Z | -10.98865 .6496573 -16.915 0.000 -12.48677 -9.490543 _cons | 12.48354 .2557512 48.811 0.000 11.89378 13.07331------------------------------------------------------------------------------19Regresyon modeliˆ 12.48 10.99 .Y Z DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU
20Regresyon doğrusu ve verilerin dağılım diyagramı024681012140 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2ZYZY 99.1048.12ˆ DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU
024681012140 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1221X değişkeninin tersini alarak Z değişkeninin yer alması ve elde edilen modelin orijinal veriler ile grafiği çizildiğinde daha uygun olduğu görülmektedir. XY99.1048.12ˆ XYDOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU
1DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİDoğrusal olmayan regresyon modellerinin hata yapısını ele alalım. uXY 21XZ1uZY 21
2Doğrusal modellerde regresyon sonuçları istenilen özelliklere sahiptir. Dönüştürülen modelde hata terimi toplamsal olmalıdır ve Gauss-Markov şartlarını sağlamalıdır.uXY 21XZ1uZY 21 DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
3Geleneksel testlerin gerçekleştirilebilmesi için, dönüştürülmüş model hata terimi normal dağılmalıdır.uXY 21XZ1uZY 21 DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
4Eğer orijinal modeldeki hata terimleri istenilen özelliklere sahip ise, doğrusal olmayan regresyon modelindeki hata terimleri de istenilen özelliklere sahiptir. Dönüşümden etkilenmemektedir. uXY 21XZ1uZY 21 DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
vXeXY u 22 11 uXY logloglog 21 5Log-log bir modelde hata terimi dışlansın.DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
vXeXY u 22 11 uXY logloglog 21 6Bununla birlikte, dönüştürülmüş modelde hata teriminin toplamsal olduğu varsayılsın.DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
vXeXY u 22 11 uXY logloglog 21 7Ancak orjinal modelde tesadüfi bileşen çarpımsaldır. eu.DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
vXeXY u 22 11 uXY logloglog 21 8Orijinal modeldeki çarpımsal terimi v ile gösterelim. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
vXeXY u 22 11 uXY logloglog 21 9u sıfıra eşit olduğunda, log Y değerini değiştirmeye gerek yoktur. Aynı biçimde v 1’e eşit olduğunda ise Y değerini değiştirmeye gerek yoktur. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
vXeXY u 22 11 uXY logloglog 21 101 değerinden büyük olan v değerlerine karşılık gelen pozitif u değerleri, tesadüfi faktör Y ve log Y üzerinde pozitif etkiye sahiptir. Benzer şekilde, 0 ve 1 değerleri arasındaki v değerlerine karşılık gelen negatif u değerleri, tesadüfi faktör Y ve log Y üzerinde negatif etkiye sahiptir. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16vf(v)vXeXY u 22 11 uXY logloglog 21 11Ayrıca Gauss-Markov şartlarını sağlanması, t ve F testlerini gerçekleştirebilmek için u teriminin normal dağılması gerekmektedir. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16vf(v)vXeXY u 22 11 uXY logloglog 21 12 Eğer v lognormal dağılıma sahip ise şekli yukarıdaki gibi olacaktır. DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
13u = 0 iken, dağılımın modu v =1 olmaktadır.0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16vf(v)vXeXY u 22 11 uXY logloglog 21 DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
14Aynı çarpımsal hata terimi yarı-logaritmik modelde de olmalıdır. 0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16vf(v)veeeY XuX 22 11 uXY 21loglog DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
15Bu dağılımda büyük pozitif tesadüfi etkiye maruz kalan gözlemlerde küçük oransal değişme beklenecektir.0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16vf(v)veeeY XuX 22 11 uXY 21loglog DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
16Örnekte kazanç ve eğitim yılına ait verilerin dağılımı yukarıdaki gibidir. Birçok aykırı gözlem bulunmaktadır ve bunların üç tanesi sarı ile gösterilmiştir. -10010203040506070800 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Years of schoolingHourly earnings ($)DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
17Yukarıda yarı-logaritmik modelin regresyon doğrusu etrafındaki dağılma diyagramı gösterilmektedir. Aynı üç değer hala aykırı gözlem olarak görülmektedir. 00.511.522.533.544.50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Years of schoolingLogarithm of hourly earningsDOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
18Yukarıdaki histogram doğrusal ve yarı-logaritmik modellerin hata terimlerini karşılaştırmaktadır. Hata terimleri standart sapması bir olacak şekilde standartlaştırıldığında karşılaştırılabilir. 020406080100120140-2 0 2Linear Semi-LogarithmicDOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
19Eğer regresyon modelindeki hata terimi normal dağılıyorsa yukarıdaki gibi gösterilir 020406080100120140-2 0 2Linear Semi-LogarithmicDOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
20Yarı-logaritmik modelden elde edilen hata terimleri yaklaşık olarak normal iken doğusal modelden elde edilen model hata terimleri normal değildir. Bu da yarı-logaritmik modelin daha iyi tanımlama olduğunu göstermektedir. 020406080100120140-2 0 2Linear Semi-LogarithmicDOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
21Eğer tam logaritmik yada yarı-logaritmik model hata terimi çarpımsal yerine toplamsal olursa ne olur?uXY 21DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
22Eğer böyle bir durum söz konusu ise, verilerin logaritması alınarak doğrusallaştırılamaz. log(1X + u)’i basitleştirmenin bir yolu yoktur. Bu durum için bazı doğrusal olmayan tekniklerin kullanılması gerekmektedir. uXY 21)log(log 21 uXY 2DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ
1BOX-COX TESTİ*Bir regresyon modelinin tanımlanmasında bağımlı değişken aynı iken R2, modelleri karşılaştırmak için kulllanılabilir.uXY 21 1 2ln Y ln X u * Bu örnek “Applied Econoemtrics A Modern Approach” Dimitrios Asterious and Stephen G. Hall kitabından alınmıştır.
2Ancak bağımlı değişken aynı değilse karşılaştırma yapılamaz.uXY 21 BOX-COX TESTİ1 2ln Y ln X u
4Bu modeller aynı değildir ve karşılaştırma yapılamaz. Farklı fonksiyonel biçimlerin Box-Cox dönüşümü ile karşılaştırılması mümkündür.uXY 21 BOX-COX TESTİ1 2ln Y ln X u
BOX-COX TESTİBox-Cox dönüşümü yapılmadan önce Box-Cox dönüşüm parametresi olan λ nın bulunması gerekmektedir. λ belirlendikten sonra bağımlı değişkene ilişkin dönüşüm aşağıdaki gibi yapılmaktadır.y 1, 0ylog y, 0 λ değeri eğer sıfır olarak bulunmuş ise, gerçek bağımlı değişkenin(y) ile logaritmik bağımlı değişken(logy) birbiri yerine kullanılabilmektedir. Ancak, λ nın sıfırdan farklı olması durumunda yukarıdaki formülden hesaplanan yeni bağımlı değişkeni oluşturulup Box-Cox testi aşamaları gerçekleştirilebilir.
BOX-COX TESTİ1.Adım: Y gözlemlerinin geometrik ortalaması alınır. uXY 21 1 n1 2 n iY Y Y Y exp 1 n ln Y 2.Adım: Y gözlemleri geometrik ortalamalarına bölünerek Y* değişkenine dönüştürülür. iY* Y / Y 'nin geometrik ortalaması(1)(2)1 2ln Y ln X u
BOX-COX TESTİ3.Adım: (1) ve (2) nolu modellerde bağımlı değişken yerine Y* değişkeni konur. uXY 21 (1)(2)*1 2Y ln X u *1 2Y X u (3)(4)1 2ln Y ln X u
BOX-COX TESTİ*1 2Y ln X u *1 2Y X u (3)(4)4.Adım: (3) ve (4) nolu modellerden elde edilen hata kareler toplamına göre ki-kare kritik değeri elde edilir. Serbestlik derecesi 1 olan ki-kare tablo değeri ile karşılaştırılır. 2 daha büyük ln2 daha küçük testn HKTHKT2 2hes tab Sonuç olarak eğer test değeri tablo değerinden büyük ise daha küçük hata kareler toplamına sahip modelin daha iyi olduğu ifade edilebilir.
BOX-COX TESTİÖrnek: 1985:1-1994:2 dönemleri arasında tüketim, gelir ve tüketici fiyat indeksi verileri verilmiştir. İki türlü tüketim fonksiyonu tanımlanmıştır. t 11 12 t 1t 21 22 t 2C Y u (1)ln C ln Y u (2) Ct : reel tüketim, Yt: reel gelir Her iki modeli karşılaştırabilmek için reel hale getirilen değişkenlerin logaritması alınarak dönüştürme adımlarına başlanabilir.
BOX-COX TESTİlnCt =ln(Ct)=CYeniC değişkenin geometrik ortalaması alınır. C exp 1 n ln C *yeniC C / C C* değişkeni (1) ve (2) nolu modellerde bağımlı değişken yerine kullanılır ve (3) ve (4) nolu modeller ayrı ayrı tahminlenir. *1 2C ln X u *1 2C X u (3)(4)λ=0 olduğu için logaritmik C değişkeni kullanılmıştır.
Dependent Variable: TUKREELSTARMethod: Least SquaresSample: 1985Q1 1994Q2Included observations: 38Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. GELIRREEL 0.000161 1.95E-05 8.255687 0.0000C 0.030438 0.001928 15.78874 0.0000R-squared 0.654366 Mean dependent var 0.046330Adjusted R-squared 0.644765 S.D. dependent var 0.001096S.E. of regression 0.000653 Akaike info criterion -11.77808Sum squared resid 1.54E-05 Schwarz criterion -11.69189Log likelihood 225.7835 F-statistic 68.15636Durbin-Watson stat 0.117352 Prob(F-statistic) 0.000000(3) nolu model:*1 2C X u
Dependent Variable: TUKREELSTARMethod: Least SquaresSample: 1985Q1 1994Q2Included observations: 38Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. LNYR 0.015727 0.001842 8.536165 0.0000C -0.025836 0.008455 -3.055740 0.0042R-squared 0.669319 Mean dependent var 0.046330Adjusted R-squared 0.660133 S.D. dependent var 0.001096S.E. of regression 0.000639 Akaike info criterion -11.82230Sum squared resid 1.47E-05 Schwarz criterion -11.73611Log likelihood 226.6238 F-statistic 72.86612Durbin-Watson stat 0.116813 Prob(F-statistic) 0.000000(4) nolu model. *1 2C ln X u
2 2tab 1,0.05 3.84 2 2hes tab daha büyük 38 1.54E-05ln ln2 daha küçük 2 1.47E-05 0.0000154 =19ln 0.88390.0000147 n HKTHKTModel karşılaştırması Logaritmik fonksiyonun doğrusal modelden daha iyi olduğu söylenemez H0: Model tahminleri arasında fark yoktur.H1: Hata kareler toplamı küçük model daha iyidir.
8Yukarıdaki iki modelde Y gözlemlerin geometrik ortalamasına bölünmesi ile normalleştirdikten sonra şu şekilde karşılaştırılabilir. uXY 21log uXY '2'1* uXY '2'1*log daha büyük ln2 daha küçük n HKTHKT)1(2uXY 21 iY* Y / Y 'nin geometrik ortalamasıBOX-COX TESTİ
9uSEARNINGS 21 uSLGEARN 21 * / ' geometrik ortalamasıEARN EARNINGS EARNINGS inYYY of mean geometric/* BOX-COX TESTİAşağıdaki iki model karşılaştırılmak istensin. Bir önceki örnekte olduğu gibi bağımlı değişkenin geometrik ortalaması alınarak bağımlı değişken gözlemleri geometrik ortalamaya bölünür.
10BOX-COX TESTİKazanç denklemini doğrusal ve yarı logaritmik biçimde karşılaştırmak için yukarıdaki testi uygulayacağız. daha büyük ln2 daha küçük n HKTHKT)1(2uSEARN '2'1* uSEARN '2'1*log uXY '2'1* uXY '2'1*log EARN* elde edildikten sonra aşağıdaki iki model tahminlenebilir.Karşılaştırma amaçlı aşağıdaki test istatistiği hesaplanır.
. reg EARNSTAR S Source | SS df MS Number of obs = 570---------+------------------------------ F( 1, 568) = 65.64 Model | 30.8184248 1 30.8184248 Prob > F = 0.0000Residual | 266.69807 568 .469538855 R-squared = 0.1036---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1020 Total | 297.516494 569 .522876089 Root MSE = .68523------------------------------------------------------------------------------EARNSTAR | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]---------+-------------------------------------------------------------------- S | .0944558 .0116589 8.102 0.000 .0715559 .1173557 _cons | -.1224433 .1602326 -0.764 0.445 -.437164 .1922774------------------------------------------------------------------------------17EARNSTAR’nın S ye göre regresyonu alınır. Hata kareleri toplamı bulunur. BOX-COX TESTİ
. reg LGEARNST S Source | SS df MS Number of obs = 570---------+------------------------------ F( 1, 568) = 93.21 Model | 21.6812545 1 21.6812545 Prob > F = 0.0000Residual | 132.120642 568 .232606764 R-squared = 0.1410---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1395 Total | 153.801897 569 .270302103 Root MSE = .48229------------------------------------------------------------------------------LGEARNST | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]---------+-------------------------------------------------------------------- S | .0792256 .0082061 9.655 0.000 .0631077 .0953435 _cons | -1.071214 .1127785 -9.498 0.000 -1.292727 -.8496999------------------------------------------------------------------------------18LGEARNST’nın de regresyonu alınır ve hata kareler toplamı alınır. BOX-COX TESTİ
19Test istatistiği 200.2 dir. Kikare tablo değeriyle karşılaştırıldığında yarı logaritmik modelin daha iyi olduğuna karar verilir. daha büyük 570 266.7ln ln 200.22 daha küçük 2 132.1 n HKTHKT level 0.1%0 d.f, 1 ,83.10 2critBOX-COX TESTİH0: Model tahminleri arasında fark yoktur.H1: Hata kareler toplamı küçük model daha iyidir.