Sıra | DOSYA ADI | Format | Bağlantı |
---|---|---|---|
01. | Denklem Çözümleri̇ | ppt | Sunumu İndir |
Transkript
4) DENKLEM ÇÖZÜMLERİ4.1. Grafik Yöntemleri4.2. Kapalı Yöntemler4.3. Açık Yöntemlerf(x)=0Kök,kökün bulunmasıCebirsel denklem
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 2Denklem kökleri mühendislikte tasarım alanında karşımıza çıkar. Fizik kanunlarından çıkarılan matematiksel denklemler veya modeller, bir sisteme ait bağımlı değişkenlerin tahmin edilmesinde kullanılır. Örnek:Bir paraşütçünün hızını bulmak için Newtonun 2. yasasını kullanalım /1 c m tg mv ec
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 3Diğer parametreler bilinirse, paraşütçünün hızını, zamana bağlı olarak hesaplamak (v=f(t)) kolaydır fakatc= ?. Çözüm analitik olarak mümkün değil Sayısal çözüm: f( c) =0 /( ) 1 c m tg mf c e vc /1 c m tg mv ec Bu fonksiyonu sıfır yapan kök, tekrar tekrar c’ye değerler verilerek, grafik veya diğer sayısal yöntemlerle bulunur. Denklemlerin sayısal olarak çözümleri de diğer problem çözümleri gibi çoğunlukla yinelemeli (iteratif) yöntemlerle yapılır.
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 44.1. Grafik Yöntemleri Örnek:f(x)=xe-x+x3+1 fonksiyonunun yaklaşık kökünü grafikten bulalım. Kaba bir yaklaştırma için çizilen grafik yeterli olabilecektir. •Kökü aramaya doğru bir noktadan başlamak çözüme ulaşmayı hızlandıracaktır•Grafik çizimleri, kökü aramak için herhangi bir sayısal çözüm yönteminde başlangıç tahmin değerlerinin seçiminde bize yardımcı olur
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 5x f(x) -2 -21,7781122 -1,5 -9,097533606 -1 -2,718281828 -0,5 0,050639365 0 1 0,5 1,42826533 1 2,367879441 1,5 4,70969524 2 9,270670566 -25-20-15-10-5051015-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5xf(x)f(x)= xe-x+x3+1 fonksiyonunun grafiği
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 6 f(x)>0-22-17-12-7-238-3 -2 -1 0 1 2 3xf(x)<0f(x)>0-22-17-12-7-238-3 -2 -1 0 1 2 3f(x)<0kök kök Fonksiyonlar kök civarında işaret değiştirdikleri için, kökü sağından ve solundan kıskaca alarak bu aralığı gittikçe daraltıp köke ulaşmak mümkündür. Bunun için iki tane başlangıç değeri belirlemek gerekir. Kökün, bu iki değerin arasındaki kapalı bölgede olduğu bu yöntemlere kapalı yöntemler adı verilir. 4.2. Kapalı Yöntemlerxa xü
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 74.2. Kapalı YöntemlerArada başka bir kök olmaması ve kısa sürede köke yakınsaması için aralık mümkün olduğunca dar seçilmelidir. -25-20-15-10-5051015-2 -1 0 1 21. kök2. kök (aradığımız)3. kökxa xü
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 8 f(x)>0-22-17-12-7-238-3 -2 -1 0 1 2 3xf(x)<0f(x)>0-22-17-12-7-238-3 -2 -1 0 1 2 3f(x)<0f(x): [xa,xü] • f(xa).f(xü)<0 x [xa,xü]xa xü• f(xa).f(xü)=0 f(xa) =0 x=xa f(xü) =0 x=xüxa xü• f(xa).f(xü)>0 x [xa,xü]
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 9[xa,xü] aralığındaki köke yaklaşmak için aralığın orta noktasını bulalım -2 ,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5xf(x)xa xü xo -2 ,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5xf(x)xa xü xo Kök, xa, xoarasında Kök, xo, xü arasında 2a üox xx • f(xa).f(xo) <0 f(xa).f(xo)xa ile xo farklı bölgelerde kökkökxü(yeni)=xo İkiye Bölme (Bisection) YöntemiGüncellenecek sınır• f(xa).f(xo) >0 xa ile xo aynı bölgelerde xa(yeni)=xo 2a üsx x!xüxo!!xaxo!
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 10Örnek: f(x) = x.e-x+x3+1 fonksiyonunun kökünü =1*10-6 duyarlılıkla bulalım, [-1,0],Cevap: x=-0.515438 Tablo.4.1. İkiye bölme yöntemiyle fonksiyonun kökünün yaklaşık olarak bulunması n xa xü xo f(xa).f(xo) =2a üx x 1 -1.000000 0.000000 -0.500000 - 0.500000 2 -1.000000 -0.500000 -0.750000 + 0.250000 3 -0.750000 -0.500000 -0.625000 + 0.125000 4 -0.625000 -0.500000 -0.562500 + 0.062500 5 -0.562500 -0.500000 -0.531250 + 0.031250 6 -0.531250 -0.500000 -0.515625 + 0.015625 7 -0.515625 -0.500000 -0.507813 - 0.007813 . . . . . . . . . . . . 19 -0.515449 -0.515442 -0.515446 + 0.000004 20 -0.515446 -0.515442 -0.515444 - 0.000002 s
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 11 Başla İlk değerleri ve sabitleri ata H Hatayı bul =2xx aü f(xa).f(xo)<0? E E H Kökü yaz İkiye bölme ile yeni kök tahmini 2a üox xx xa=xo < s ? xü=xo Bilgisayarda Çözüm: Programın Algoritması
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 12xa=-1; xu=0; es=1e-6while abs(xu-xa)/2>es xo=(xa+xu)/2 fa=xa*exp(-xa)+xa^3+1 fo=xo*exp(-xo)+xo^3+1 if fa*fo<0 xu=xo; else xa=xo endend Program
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 13Programı daha esnek hale getirebilmek için öncelikle programda kullanılacak fonksiyon başka bir .m dosyası içinde önceden tanımlanabilir.
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 14Geliştirilmiş algoritma Başla İlk Değerleri Ata f(xa).f(xü)>0? E H “Verilen Aralıkta Kök Yoktur” f(xa).f(xü)=0? E H f(xa) =0 ? E H Kök=xa Kök=xü 2a üox xx f(xa).f(xo)<0? H E xa=xo xü=xo |xü-xa|/2 < s E kök=xo kök ve tekrar sayısını yazdır H n=n+1 n>=Nmax? Maksimum tekrarda yakınsama sağlanamadı E H
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 15
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 164.2.2. Adım Küçülterek Köke Yaklaşma Yöntemi h f(x) xa xk xü x f(x).f(x+h) >0 adımf(x).f(x+h)<0 x(yeni)=x+hh(yeni)=h/10
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 17Örnek: Herhangi bir f(x) fonksiyonunun kökü 5.42 olsun. [4 6] aralığında kökü aramaya başlarsak; xa=4, h=1 x= 45 h=0.15,15,25,35,4 h=0.015,415,42-2-1,5-1-0,500,513,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 18 Program algoritması f(x).f(x+h)<0? h>= s ve f(x) ~=0 mı? E H E H x=x+h Kökü yazdır h=h*0.1 Başla İlk Değerleri Ata x=xa, , h, s
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 19
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 20Ödev: a) R=10 ve diyot gerilimi VD= ln(150 iD+1) olarak kabul edelim. Şekilde devrede iD akımını Di = [3 , 4] aralığında adım küçültme yöntemiyle 01.0 duyarlılıkla hesaplayın. İlk adım büyüklüğümüz h=0,1 olarak başlasın. (10eskiyenihh ) 40V + R VD i b) Problemi bilgisayarda çözmek için bir algoritma hazırlayın ve bildiğiniz bir programlama dilinde yazın.
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 21 4.2.3. Yer Değiştirme (Regula Falsi) Yöntemi xr xü xa aü xx rü xx x f(x) Benzer üçgenler aürüaüüxxxxxfxfxf )(()()(f(xü)f(xa) ( )( ) ( )ü a ür üa üf x x xx xf x f x
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 22 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5xf(x)xa xü xr -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5xf(x)xa xü xr Kök, xa, xr arasında Kök, xr, xü arasında • f(xa).f(xr) <0 f(xa).xa ile xr farklı bölgelerde kökkökxü(yeni)=xr Güncellenecek sınır• f(xa).f(xr) >0 xa ile xr aynı bölgelerde xa(yeni)=xr ( )( ) ( )ü a ür üa üf x x xx xf x f x sa %
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 23Örnek:Kütlesi m=68.1kg olan bir paraşütçünün, t=10 s serbest düştükten sonra 40m/s hıza sahip olabilmesi için gerekli direnç katsayısını yer değiştirme yöntemiyle iki iterasyon adımı için belirleyin.(, xa=12, xü=16)Çözüm: Burada kök x=c direncidir, • ilk iterasyon:xa=12 f(xa)=6.0699xü=16 f(xü)=-2.2688 xr= 2.2688 12 1616 14.91136.0669 2.2688 /( ) 1 c m tg mf c e vc f(xr)=-0.25413•İkinci iterasyon: f(xa)*f(xr)= -1.5426 <0xr , xü ile aynı bölgede olduğu için bir sonraki iterasyonun üst sınırı olacaktır. xü=14.9113 f(xü)= -0.2543 xa=12 f(xa)=6.0699 0.2543 12 14.911314.9113 14.79426.0669 0.2543 xr=
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 24Ödev: a) Şekildeki elektrik devresinde Kirschoff yasaları kullanılarak sistemin empedansı 22111wLwCRZ şeklinde ifade edilebilir. Burada Z=empedans( ) ve w=açısal frekanstır. [wa= 50 ve wü= 300] ilk tahminlerinden başlayarak yer değiştirme (regula falsi) yöntemiyle 100 empedans veren açısal frekansı ilk 3 adım için bulun. Hesaplamalarda virgülden sonra 5 basamağı dikkate alın R=225 , C=0.6*10-6 F ve L=0.5 H. Regula Falsi Formülü ( )( ) ( )ü a ür üa üf x x xx xf x f x b) soruyu mutlak yüzde yaklaşım hatası ae%310 duyarlılıkla bulan program algoritmasını oluşturun ve programı yazın. R L ~ C
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 254.3. Açık Yöntemlerxi+1f(x)xi xf(xi) 0Eğim=f’(xi)• Kökü iki başlangıç değeri arasında kıskaca alma ( f(xa).f(xü) <0 )sorgulaması yok xa f(x) xü f(xü) 0 f(xa) Kapalı Açık
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 26-25-20-15-10-5051015-2 -1 0 1 2aradığımız kökxoAçık yöntemler hızlıdır fakat bazen başlangıç noktası uygun seçilmediğinde ıraksayabilirler.
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 274.3.1. Basit Sabit Noktalı İterasyon: Bütün açık yöntemler kökün bulunması için bir formül kullanırlar. f(x)=0 xi+1=g(xi) x = g(x) f(x)=x2-2x+3=0 x= 2 32x g(x)veyaf(x)=sinx=0 x=sinx+x g(x)
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 28Örnek: Basit sabit noktalı iterasyon kullanarak f(x)=e-x-x fonksiyonunun kökünün yerini yüzde yaklaşım hatası % 1.2’nin altına düşene kadar hesaplayınız. Her adım için % yaklaşım hatasını mutlak değer olarak bulunuz. (x0=0)aÇözüm: xi+1= , İlk tahmin olarak x0=0 ile başlayarak tablodaki değerler bulunabilir. ixe%a11*%100i iix xxi xi0 01 1.000000 1002 0.367879 171,82853 0.692201 46,853734 0.500473 38,309365 0.606244 17,446946 0.545396 11,156667 0.579612 5,9032598 0.560115 3,4808929 0.571143 1,93086510 0.564879 1,10891
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 29Sabit noktalı iterasyon için algoritmaH n=n+1 E H Kökü, tekrar sayısını ve bağıl hatayı yazdır n=Nmax E Sıfıra Bölme Hatası a s ? E H Bitiş a 11*%100i iix xx Başla İlk Değerleri Ata ,x0,n,Nmax n<Nmax? xkeski=x0 xkyeni=g( xkeski) xkyeni<>0?
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 30x0=0; es=1.2; n=0; Nmax=100; xkeski=x0; while (n<Nmax) n=n+1; xkyeni=g(xkeski) if xkyeni~=0 ea=abs((xkyeni-xkeski)/xkyeni)*100 if ea<es disp('Kök='); disp(xkyeni); disp('Tekrar Sayisi='); disp(n); disp('Yüzde bagil Hata=');disp(ea); n=Nmax; end else disp('Sifira bolme hatasi'); end xkeski=xkyeni; end g.m dosyasıfunction [xkyeni] = g(xkeski)xkyeni=1.0*exp(-xkeski);
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 31 4.3.2. Newton-Raphson Yöntemixi+1f(x)xi xf(xi) 0Eğim=f’(xi)Xi+2 10)('iiii xxxfxf iiii xfxfxx'1
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 32Örnek: Newton-Raphson yöntemini kullanarak, f(x)=e-x-x fonksiyonunun kökünü x0=0 ilk tahminini yaparak bulun. (Yüzde bağıl yaklaşma hatası 3*10-5’in altına düşene kadar iterasyona devam edin) Çözüm: Fonksiyonun birinci türevi1)(' xexffonksiyon ve türevi denklemde yerine konulursa xi+1= xi -1iixixexe
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 33x0=0 ai xi (%)0 01 0.500000000 1002 0.566311003 11,709290953 0.567143165 0,1467287364 0.567143290 2,20403E-05• f.m dosyasının içeriği:function [fx] = f(x)fx=1.0*exp(-x)-x;fturev.m dosyasının içeriği:function [fturevx] = fturev(x)fturevx=-1.0*exp(-x)-1;
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 34es=3e-5; n=0; Nmax=100;xkeski=0;while (n<Nmax) n=n+1; if fturev(xkeski)==0 disp('Sifira bolme hatasi'); else xkyeni=xkeski-f(xkeski)/fturev(xkeski) if xkyeni~=0 ea=abs((xkyeni-xkeski)/xkyeni)*100 if ea<es disp('Kök='); disp(xkyeni); disp('Tekrar Sayisi='); disp(n); disp('Yüzde bagil Hata=');disp(ea); n=Nmax; end else disp('Sifira bolme hatasi'); end xkeski=xkyeni; end end
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 35H n=n+1 E H Kökü, tekrar sayısını ve bağıl hatayı yazdır n=Nmax E Sıfıra Bölme Hatası a s ? E H Bitiş Başla İlk Değerleri Ata ,x0, n, Nmax n<Nmax? xkeski=x0 xkyeni=xkeski-xffx' xkyeni<>0? E H Sıfıra Bölme Hatası xf ' <>0? a 11*%100i iix xx
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 364.3.3. Sekant Yöntemi: xi+1 f(x) xi xi-1 f(xi) 0 10)('iiii xxxfxf iiii xfxfxx'1f(xi-1) 11( )'( ) i iii if x f xf xx x 111 ( )i i ii ii if x x xx xf x f x Newton R
S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,2007 37 -2 ,5 -2 -1 ,5 -1 -0 ,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5xf(x)xa xü xr -2 ,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5xf(x)xa xü xr Kök, xa, xr arasında Kök, xr, xü arasında • f(xa).f(xr) <0 xa ile xr farklı bölgelerde kökkökxü(yeni)=xr Güncellenecek sınır• f(xa).f(xr) >0 xa ile xr aynı bölgelerde xa(yeni)=xr ( )( ) ( )ü a ür üa üf x x xx xf x f x Regula Falsi 111 ( )i i ii ii if x x xx xf x f x SekantXi+1 xi xi-1İkisinde de iki ilk tahmin değeri var