Sıra | DOSYA ADI | Format | Bağlantı |
---|---|---|---|
01. | Sayısal Hesaplamalardaki Hatalar, Hata Kaynakları | ppt | Sunumu İndir |
Transkript
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,200713) Sayısal Hesaplamalardaki Hatalar, Hata Kaynakları 1. Modelleme: 2. Matematiksel Yöntemin Belirlenmesi: 3. Programlama: 4. Programın Çalıştırılması: 5. Sonuçların Yorumlanması:2. adımda belirtildiği gibi, en az hatayı oluşturacak yöntemin seçilmesi ve 5. adımdaki hata toleransı, sayısal yöntemlerin etkili bir biçimde kullanılabilmesi için önemlidir.
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,20072Bir problemin sayısal çözümlemesi yapılırken, bilgisayarlar sonlu sayıda rakamı saklayabilirler. Bu nedenle hesaplamalar tam değil yaklaştırmalarla yapılabilir. Burada önemli olan soru şudur: Hesaplarda ne kadar hata vardır ve bu kabul edilebilir mi?Günlük Hayatımızda, Okulda, Mühendislik Hayatımızda Hataların Bedelleri Bu bölümde çeşitli hata tanımları, hataların tespiti ve en aza indirilmesi ile ilgili temel konular ele alınacaktır.
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,20073a3.1. 1. Hata: •Sayısal hatalar, gerçek matematik işlemlerinin ve büyüklüklerinin yaklaştırmalarla ifade edilmelerinden doğar. •3.1. Hata Tanımları~aa~aa
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,20074a3.1. 1. Bağıl Hata: •3.1. Hata Tanımlarır~raa Hataa a Gerçek Değer ( 0a ) a, tam olarak bulunamayacağı için bu formül kullanışsızdır 1. , ~a ’ya göre çok daha küçük ise a yerine ~a kullanılabilir. Bu durumda;
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,20075a~raa Hataa a Gerçek Değer ( 0a ) 2. 3.1. 1. Bağıl Hata: •3.1. Hata Tanımlarır , ~aa ölçebildiğimiz en büyük duyarlılıkta bir hata sınırı tanımlarız.
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,20076a3.1.3. Yaklaşım Hatası:•3.1. Hata Tanımları101a aaa
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,20077a3.1.4. Mutlak Hata •3.1. Hata Tanımlarıa s 3.1.5. Yüzde hata: % 100 *Hata0.02 = 2/100 = %2
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,20078• Soru: Bir köprü ve bir perçinin uzunluklarını ölçmeniz isteniyor. Ölçüm sonucunda boylarını sırasıyla 9999 ve 9 cm bulduğunuzu varsayalım. Eğer gerçek değerler sırasıyla 10 000 ve 10 cm ise her iki durum için (a) gerçek hatayı, (b) gerçek yüzde hatayı hesaplayın. Çözüm:Köprünün ölçülmesindeki hatakopru~koprukopru aa =10 000-9999 = 1 cmperçinin ölçülmesindeki hata; percin =10-9=1 cm.
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,20079Köprü için gerçek bağıl yüzde hata;=Perçin için gerçek bağıl yüzde hata;% koprur =koprukoprua* %100 110000* %100 = %0.01 percinr% =percinpercina* %100 =110 = %10 * %100
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,200710Hataları anlamlı basamak sayısıyla ilişkilendirmek (Scarborough,1966) 2% 0.5*10 ns n897914159265353.3589793.14159265 2926983.14639184~~
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,200711Örnek: Matematikte işlevler çoğu zaman sonsuz serilerle gösterilebilir. Örneğin , üstel işlev aşağıdaki açılım kullanılarak hesaplanabilir. 2 31 ...2! 3! !nx x x xe xn Böylece daha fazla sayıda terim eklendikçe, yaklaştırma, ’in gerçek değerini daha iyi tahmin eder (Mac Laurin Serisi Açılımı).
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,200712Soru: İlk terimden başlayarak (e = 1), tek tek terimler ekleyerek e sayısını tahmin edin (Gerçek değer e=1.648721..) . Her adımda gerçek ve yüzde bağıl hatalarını bulun. Yaklaşık hata ’nın mutlak değeri , üç anlamlı basamak veren belirli bir hata kriterinden daha küçük oluncaya kadar terim eklemeye devam edin . x0.5
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,200713Çözüm: Öncelikle sonucun en az üç anlamlı basamak için doğru olmasını garanti eden hata kriteri belirlenebilir. 2 3% 0.5*10 %0.05s Bu seviyenin altına inene kadar terim eklenmeye devam edilir
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,200714Seriye bakarsak eklenecek ilk terim 1’dir. Bu nedenle in değeriyle ilgili ilk tahminimiz; xexe=e0.5=1 34.39%100%*648721,11648721,1r e0.5 2. tahmin değeri ikinci terim eklenerek bulunur =1+x ve x=0.5 için =1+0.5 Bu değerden , gerçek bağıl yüzde hata bulunur. e0.5 02.9%100%*648721,15.1648721,1r% %
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,200715xeBağıl yüzde hatanın yaklaşık bir tahmini olan yüzde yaklaşım hatası ise şu şekildedir: 1. adımda elimizdeki tek tahmin değeri 1 olduğu için bir hata karşılaştırması yapamayız. Şayet önceki tahmin değerini 0, mevcut tahmin değerini 1 seçersek hata %100 çıkar. 2. adımda 1.5 1*%100 %33.31.5a % a > s22!xEklenecek terime0.5=1+0.5+25.0 2=1.625 İşleme % < oluncaya kadar devam edilir. a s
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,200716• Problemi Mc Laurin serisi yöntemine göre çözecek olan program algoritması Başla İlk Değerleri Ata % a > s ? H E e0.5’in en son yaklaşık değerini göster Döngü İçindeki Hesaplamaları (Terim ekle, Toplamı bul, hatayı hesapla )
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,200717
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,2007183.2. Kesme ve Yuvarlama Hataları: • Kesme• 1.59, 1.5 olarak algılanır. Hata, 0.09’dur• 1.51, 1.5 olarak algılanır. Hata 0.01’dir• Yuvarlama• 1.59, 1.6 olarak algılanır. Hata, 0.01’dir. • 1.51, 1.5 olarak algılanır. Hata 0.01’dir.
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,200719Sayıların Kayan Noktalı Olarak Gösterilimi (Floating Point): • Kesirli nicelikler ; * em bTablo.3.1. Kayan noktalı gösterilimİşaret İşareti, Üs MantisÖrneğin bir aktarma işlemi sonucunda, 0.029411765 sayısını sadece 4 ondalık basamağının saklandığını varsayalım. Bu sayı normalde olduğu gibi alınırsa ondalık tabanda şu şekilde saklanır. 0.0294*10^0 kayan noktayla 0.2941*10^-1
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,200720Örnek-1 Körfez savaşı sırasında 25 Şubat 1991 günü• algılamadı ve 28 kişi öldü. Suudi Arabistan’daki Amerikan patriot füzesiatılan Irak Skud füzesi
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,200721Soruşturma sonunda, sorunun bir yazılım hatasından kaynaklandığı anlaşıldı. • Patriot bilgisayarı aritmetik hata nedeniyle füze zamanını yanlış hesaplamıştı. Bilgisayar saatinden alınan değer 1/10 ile çarpılarak geçen süre hesaplanmaktaydı. Bilgisayar 24-bit sabit kayıtçı kullanmaktaydı.
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,2007221/10 sayısı 2’li tabanda 1/2 +1/2 +1/2 +1/2 +1/2 +1/2 +... şeklinde sonsuz terimlidir. Başka bir deyişle 1/10’un 2 li tabandaki açılımı 0.0001100110011001100110011001100....şeklindedir.• Sayı: 0.0001100110011001100110011001100.... • 24-bit: 0.00011001100110011001100• Kesme hatası: 0.0000000000000000000000011001100... 100 saatlik batarya süresince bu hata: 0.000000095×100×60×60×10=0.34 sn
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,200723Saniyede 1,676 metre yol alan skud füzesi 0.34 saniyede 500 metreden fazla gider. Bu kadarlık hata ise Skud’un menzil dışında görülmesine yol açar (Sevgi, L.,2005).
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,200724Örnek-2: Bir matematikçi yandaki şeklin alanını analitik olarak AD= bulmuş ve bu şekle daire adını vermiştir. • Sadece ikiz kenar üçgenlerin alanını hesaplayabilen bir bilgisayarla bu dairenin alanını % <0.01 hata ile bulabilecek bir algoritma oluşturun ve programını Matlab programlama dilinde yazın. n2ra Program, her adımda daireyi üçgenlerden oluşan n eşit parçaya bölsün, istenen doğruluk sağlanmadıkça n’i 1 arttırsın (r=1 cm olsun, n, 5’ten başlasın). Daireyi yaklaşık olarak oluşturacak n tane üçgenin alanı ;n*Aüçgen 2* *sin2 Drn A 2n
3) S.YILMAZ,KOU. ELO_HAB,200725 Başla İlk Değerleri Ata : r, n,ea, es, A0 ea es mi? H E Son Alan değerini göster A1 2* *sin2 Drn A %ea= 100%*AAA101 A0 A1 n=n+1 Çözüm: